Question

12．如图，点P是△ABC在平面外的一点，PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=1，
（1）求PC与平面ABC所成的角
（2）若E为PC的中点，求BE与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析 （1）取AB中点D，连接PD、CD，可证明出平面PCD⊥平面ABC，从而得到∠PCD是直线PC和平面ABC所成的角．在△PCD中，算出PD、CD的长，用余弦定理算出cos∠PCD的值，从而得到∠PCD的度数，即为PC和平面ABC所成的角．
（2）设P在平面ABC中的射影为O，E在平面ABC中的射影为O′，O，O′在CD上，则∠EBO′为BE与平面ABC所成的角．

解答 解：（1）取AB中点D，连接PD、CD
∵PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB，
同理可得CD⊥AB
∵PD、CD是平面PCD内的相交直线
∴AB⊥平面PCD
∵AB?平面ABC，
∴平面PCD⊥平面ABC，
由此可得直线PC在平面ABC内的射影是直线CD，
∴∠PCD是直线PC和平面ABC所成的角
∵△PAB中，PA=PB=2，AB=1
∴PD=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
又∵正△ABC中，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△PCD中，cos∠PCD=$\frac{4+\frac{3}{4}-\frac{15}{4}}{2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∴PC和平面ABC所成的角等于arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）设P在平面ABC中的射影为O，E在平面ABC中的射影为O′，O，O′在CD上，
则∠EBO′为BE与平面ABC所成的角．
由（1）sin∠PCD=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
∴PO=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，EO′=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
由三角形中线的求法，4+4BE²=2（4+1），
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin∠EBO′=$\frac{\sqrt{22}}{6}$，
∴BE与平面ABC所成的角等于arcsin$\frac{\sqrt{22}}{6}$．

点评 本题在正三棱锥中求侧棱与底面所成角的大小，着重考查了线面垂直、面面垂直的证明和直线与平面所成角大小的求法等知识，属于中档题．