Question

9．已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，tanA=$\frac{1}{2}$，$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m$\overrightarrow{AO}$，则m=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 取AB的中点D，则$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，从而可得$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$，从而可得m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$=sinA，从而解得．

解答 解：取AB的中点D，则$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
代入$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m$\overrightarrow{AO}$得，
$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$），
∵$\overrightarrow{OD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{AB}$=0；
∴$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$c²+$\frac{cosC}{sinB}$bcosA=mc²，
由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$化简可得，
$\frac{cosB}{sinC}$sin²C+$\frac{cosC}{sinB}$sinBsinCcosA=msin²C，
∴m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$=sinA，
又∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的运算及解三角形的运算应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．