Question

18．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，得到如图的频率分布直方图．
（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；
（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；
（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，
①求这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率；
②求这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．
（2）设40名广场舞者年龄的中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x-50）=0.5，由此能求出中位数的估计值为55．利用频率分布直方图能求出40名广场舞者年龄的平均数的估计值．（3）①由频率分布直方图求出年龄在[20，30）的广场舞者有2人，年龄在[30，40）的广场舞者有4人，从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，由此能求出这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率．
②这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及其数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图得到年龄分布在[40，70）的频率为：
（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，
∴估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：
40×0.75=30（名）．
（2）设40名广场舞者年龄的中位数为x，
则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x-50）=0.5，
解得x=55，即中位数的估计值为55．
40名广场舞者年龄的平均数的估计值：
$\overline{x}$=0.005×10×25+0.010×10×35+0.020×10×45+0.030×10×55+0.025×10×65+0.010×10×75=54．
（3）①由频率分布直方图得年龄在[20，30）的广场舞者有0.005×10×40=2人，
年龄在[30，40）的广场舞者有0.01×10×40=4人，
从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，
基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，这2名广场舞者年龄不都在[20，30）包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=8，
∴这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{8}{15}$．
②这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{6}{15}$

∴EX=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{6}{15}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．