Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{2}（1-x），-1≤x＜0\\{x}^{3}-3x+2，0≤x≤a\end{array}\right.$的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是$[1，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式容易判断f（x）在[-1，0）上单调递减，从而求出x∈[-1，0）时，0＜f（x）≤1，而当x∈[0，a]时，通过求导便可判断出f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，a]上单调递增，且0≤x≤1时，0≤f（x）≤2，并能求出$f（\sqrt{3}）=2$，从而便可根据f（x）的值域为[0，2]得出a的取值范围．

解答 解：（1）-1≤x＜0时，f（x）=log₂（1-x）为减函数；
∴f（0）＜f（x）≤f（-1）；
即0＜f（x）≤1；
（2）0≤x≤a时，f（x）=x³-3x+2，f′（x）=3（x²-1）；
∴x∈[0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，a]时，f′（x）＞0；
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，a]上单调递增，且x=1时取最小值0；
∴x∈[0，1]时，f（x）∈[0，2]；
∵f（x）的值域为[0，2]，且$f（\sqrt{3}）=2$；
∴$1≤a≤\sqrt{3}$；
∴实数a的取值范围是$[1，\sqrt{3}]$．
故答案为：$[1，\sqrt{3}]$．

点评 考查函数值域的概念及求法，复合函数、对数函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，以及根据函数导数符号判断函数单调性和求函数最值的方法．