Question

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB．
（1）求角B；
（2）若a=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边b的值．

Answer 1

分析 （1）由a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，利用正弦定理可得：sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，由于sinA=sin（B+C），化简整理可得：tanB=$\sqrt{3}$，即可得出B．
（2）由2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2c×sin\frac{π}{3}$，可得：c．利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，
∴sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
化为：cosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，sinC≠0，
可得：tanB=$\sqrt{3}$，B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2c×sin\frac{π}{3}$，可得：c=4．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=${2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4cos\frac{π}{3}$=12，
∴b=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．