Question

8．已知函数f（x）是一次函数，它的图象过点（3，5），又f（2），f（5），15成等差数列．若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N，n＞0）．
（I）设数列{a_n}的前n项的和为S_n，求S₂₀₁₆．
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=a_n•${2^{\frac{{{a_n}+1}}{2}}}$，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过联立方程组可求出k=2、b=-1，进而利用等差数列的通项公式及求和公式计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=（2n-1）2ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（I）由题可设f（x）=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}3k+b=5\\ 2k+b+15=2（5k+b）\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-1，
所以a_n=2n-1，a₁=1，a₂₀₁₆=4031，
故${S_{2016}}=\frac{1+4031}{2}×2016={2016^2}=4064256$；
（Ⅱ）由（I）得：${b_n}=（2n-1）•{2^{\frac{（2n-1）+1}{2}}}=（2n-1）•{2^n}$，
则T_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-1）2ⁿ，
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-1）•{2^{n+1}}$，
两式相减，得：$-{T_n}=2+2×{2^2}+…+2•{2^n}-（2n-1）•{2^{n+1}}$
=2（2+2²+…+2ⁿ）-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=4（2ⁿ-1）-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
所以${T_n}=（2n-3）•{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．