Question

10．已知x＞1，y＞1，且lnx，$\frac{1}{2}$，lny成等比数列，则xy的最小值为e．

Answer 1

分析 由题意可得lnx＞0，lny＞0，lnx•lny=$\frac{1}{4}$，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由对数的运算可得xy的最小值．

解答 解：∵x＞1，y＞1，∴lnx＞0，lny＞0，
又∵lnx，$\frac{1}{2}$，lny成等比数列，
∴$\frac{1}{4}$=lnxlny
由基本不等式可得lnx+lny≥2$\sqrt{lnxlny}$=1，
当且仅当lnx=lny，即x=y=$\sqrt{e}$时取等号，
故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，
故xy的最小值为：e
故答案为：e

点评 本题主要考查了等比中项的性质和基本不等式的应用．等比中项的性质即若a，b，c成等比数列，则有b²=ac．