Question

20．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率为$\frac{1}{3}$，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
（1）离散型随机变量ξ的概率分布；
（2）离散型随机变量ξ的均值．

Answer 1

分析 （1）离散型随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
（2）由离散型随机变量ξ的分布列，能求出离散型随机变量ξ的均值．

解答 解：（1）离散型随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{2}^{3}}{{3}^{4}}$=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{2}^{4}}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}•2}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=4）=（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

（2）由（1）得离散型随机变量ξ的均值：
Eξ=$0×\frac{16}{81}+1×\frac{32}{81}+2×\frac{8}{27}+3×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．