Question

15．已知函数f（x）=2x²+3，g（x）=a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，若对于任意的x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，3）
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 根据题意，得出f（x）＞g（x）恒成立时2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$对任意的实数x恒成立，转化为a＜$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$对任意的实数x恒成立；
设a（x）=$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，利用换元法求出a（x）的最小值，从而求出a（x）的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=2x²+3，g（x）=a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
当对于任意的x∈R，f（x）＞g（x）恒成立时，
即2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$对任意的实数x恒成立，
即不等式a＜$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$对任意的实数x恒成立；
设h（x）=$\frac{{2x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
则h（x）=$\frac{{2x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
设t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥1，∴a（t）=2t+$\frac{1}{t}$，∴a′（t）=2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴a（t）在[1，+∞）上是单调增函数，
∴a（t）_min=g（1）=2+1=3；
∴a（x）的最小值为3，
∴a的取值范围是（-∞，3）．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了函数的最值问题，是综合性题目．