Question

6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求证：f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（2）证明：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；
（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）需要特别注意构造方法，x=y•$\frac{x}{y}$即可．
（2）抽象函数的单调性证明需要特别注意构造方法，构造出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），可应用已知得f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，进而根据函数单调性的定义得到结论．
（3）根据若f（3）=1，f（9）=2，根据运算法以及单调性求得a的范围．

解答 解：（1）证明：由题意得：
f（x）=f（y•$\frac{x}{y}$）=f（y）+f（$\frac{x}{y}$），
故f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）=f（${x}_{2}•\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）+f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），
∵当x∈（0，1）时f（x）＞0，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；
（3）若f（3）=1，
∴f（9）=2，
∴f（a）＜f（a-1）+f（9）=f（9（a-1）），
∴a＞9（a-1），
∴1＜a＜$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查抽象函数的运算法则以及单调性的证明和解不等式．