Question

14．已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2．则$\frac{{f}^{2}（1）+f（2）}{f（1）}+\frac{{f}^{2}（2）+f（4）}{f（3）}$+$\frac{{f}^{2}（3）+f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{{f}^{2}（2016）+f（4032）}{f（4031）}$=8064．

Answer 1

分析 利用已知条件求出$\frac{f（n+1）}{f（n）}$的值，然后化简所求的表达式求解即可．

解答 解：函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），
当a=b时，可得f（2a）=f²（a），
令b=1，a=n，可得f（n+1）=f（n）•f（1），
即：$\frac{f（n+1）}{f（n）}=f（1）$=2，
则$\frac{{f}^{2}（1）+f（2）}{f（1）}+\frac{{f}^{2}（2）+f（4）}{f（3）}$+$\frac{{f}^{2}（3）+f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{{f}^{2}（2016）+f（4032）}{f（4031）}$
=$\frac{2f（2）}{f（1）}$+$\frac{2f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{2f（4032）}{f（4031）}$
=2[f（1）+f（1）+f（1）+…+f（1）]=2×2016×2
=8064．
故答案为：8064．

点评 本题考查抽象函数的应用，赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．