Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-mx-1=0恰有两个不同实根，则正实数m的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1）
• B． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]
• C． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e-1）
• D． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e-1]

Answer 1

分析 方程f（x）-mx-1=0恰有两个不同实根可转化为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$与直线y=mx+1的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解．

解答 解：∵方程f（x）-mx-1=0恰有两个不同实根，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$与直线y=mx+1的图象有且只有两个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$与直线y=mx+1的图象如下，

易知直线y=mx+1恒过点C（0，1），且点A（1，e），B（3，e）；
故${k}_{{1}_{1}}$=k_AC=$\frac{e-1}{1-0}$=e-1，${k}_{{l}_{3}}$=k_BC=$\frac{e-1}{3-0}$=$\frac{e-1}{3}$；
f′（x）=e^x，f′（0）=e⁰=1；
故${k}_{{l}_{2}}$=1；
故结合函数的图象可知，
$\frac{e-1}{3}$＜m＜1或1＜m≤e-1，
故选D．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论与转化思想的应用及导数的综合应用，属于中档题．