Question

18．如图，△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=60°，△ADC是锐角三角形，DA+DC的取值范围为$（6，4\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 在△BAC中，由余弦定理可得：AC²=4²+2²-2×4×2×cos60°，AC=2$\sqrt{3}$．在△ADC中，设∠CAD=α，则∠ACD=120°-α．由于△ADC是锐角三角形，可得30°＜α＜90°．
由正弦定理可得：$\frac{AD}{sin（12{0}^{°}-α）}$=$\frac{DC}{sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=4．化简整理即可得出．

解答 解：在△BAC中，由余弦定理可得：AC²=4²+2²-2×4×2×cos60°=12．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
在△ADC中，设∠CAD=α，则∠ACD=120°-α．
∵△ADC是锐角三角形，∴0°＜α＜90°，0°＜120°-α＜90°，可得30°＜α＜90°．
由正弦定理可得：$\frac{AD}{sin（12{0}^{°}-α）}$=$\frac{DC}{sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=4．
∴AD=4sin（120°-α），DC=4sinα，
∴AD+DC=4sin（120°-α）+4sinα=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα+sinα）$
=$4\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）$
=4$\sqrt{3}$sin（α+30°），
∵30°＜α＜90°，∴60°＜α+30°＜120°，
∴sin（α+30°）∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴AD+DC∈$（6，4\sqrt{3}]$．
故答案为：$（6，4\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了正弦定理弦定理、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．