Question

18．在△ABC中，点M是边BC上的一点，BM=3，AC=2$\sqrt{10}$，∠B=45°，cos∠BAM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（I）求线段AM的长度；
（Ⅱ）求线段MC的长度．

Answer 1

分析 （I）在△ABM中使用正弦定理解出AM；
（II）求出cos∠AMB，得出cos∠AMC，在△AMC中使用余弦定理列方程解出MC．

解答 解：（I）∵cos∠BAM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sin∠BAM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
在△ABM中，由正弦定理得：$\frac{BM}{sin∠BAM}=\frac{AM}{sinB}$，即$\frac{3}{\frac{\sqrt{10}}{3}}=\frac{AM}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得AM=3$\sqrt{5}$．
（II）cos∠AMB=-cos（∠BAM+∠B）=sin∠BAMsinB-cos∠BAMcosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵∠AMB+∠AMC=π，
∴cos∠AMC=-cos∠AMB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在△AMC中，由余弦定理得cos∠AMC=$\frac{A{M}^{2}+M{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AM•MC}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{45+M{C}^{2}-40}{6\sqrt{5}MC}$，解得MC=1或MC=5．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题．