Question

6．过点P（2，1）作直线l交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点．求：
（1）当△AOB面积最小时的直线l的方程；
（2）当|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程；
（3）当|PA|•|PB|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，则直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$．根据直线过点P，可得a，b的关系式，然后表示出△AOB面积，通过变形运用基本不等式即可求得答案；
（2）运用（1）问结论，使用基本不等式可得答案；
（3）运用两点间距离公式表示出|PA|•|PB|，通过整理使用基本不等式可求．

解答 解：由题意，设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$．
又直线l过点P（2，1），得$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，
（1）∵$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，∴a+2b=ab⇒a+2b-ab-2=-2⇒a（1-b）+2（b-1）=-2，
⇒（a-2）（b-1）=2＞0，a＞2，b＞1，
当△AOB面积最小时，即S=$\frac{1}{2}$ab最小，
得S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+2b）=$\frac{1}{2}$[（a-2）+2（b-1）]+2≥$\sqrt{2（a-2）（b-1）}$+2=4，
当且仅当a-2=2（b-1），即a=4，b=2时取等号，此时直线l的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}$=1，即x+2y-4=0；
（2）|OA|+|OB|=a+b=（a-2）+（b-1）+3≥3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a-2=b-1=$\sqrt{2}$，即a=2+$\sqrt{2}$，b=1+$\sqrt{2}$时取等号，
此时直线l的方程为$\frac{x}{2+\sqrt{2}}+\frac{y}{1+\sqrt{2}}$=1，即x+$\sqrt{2}$y-2-$\sqrt{2}$=0．
（3）|PA|•|PB|=$\sqrt{[（a-2）^{2}+1][4+（b-1）^{2}]}$=$\sqrt{8+4（a-2）^{2}+（b-1）^{2}}$
≥$\sqrt{8+2\sqrt{4（a-2）^{2}（b-1）^{2}}}$=4，
当且仅当2（a-2）=b-1=2，即a=b=3时取等号，
此时直线l的方程为$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1$，即x+y-3=0．

点评 本题考查三角形的面积公式、两点间的距离公式及基本不等式的应用，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．