Question

11．设函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-a．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为1，求a的值
（2）求函数f（x）的极值．
（3）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（0），f′（0），求出切线方程，从而求出a的值即可；
（2）求导函数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（3）求出函数的极大值与极小值，根据方程f（x）=0有且仅有三个实根，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴f（0）=-a，f′（0）=6，
故切线的方程是y+a=6x，令y=0，解得：x=$\frac{a}{6}$=1，解得：a=6；
（2）由（1）得：f′（x）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∞（-∞，1）和（2，+∞）是增区间；（1，2）是减区间，
∴f（x）_极大值=f（1）=$\frac{5}{2}$-a，f（x）_极小值=f（2）=2-a；
（3）由（2）知 当x=1时，f（x）取极大值f（1）=$\frac{5}{2}$-a；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；
∵方程f（x）=0仅有三个实根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，求出函数的极值是关键．