Question

2．若直线x+y=1与曲线y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）恰有一个公共点，则a的取值范围是a=$\frac{1}{2}$或a＞1．

Answer 1

分析 将曲线y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）看成一个半圆，画出直线x+y=1与半圆恰有一个公共点时的情况，求解a的取值范围即可．

解答 解：由曲线y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0），知y≥0，
等式两边同时平方，整理可得x²+y²=a²，
即曲线y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）是以（0，0）点为圆心，以$\sqrt{a}$为半径的半圆（y≥0）
已知直线x+y=1，可在直角坐标系中给出图象（如下图）
由图象可知，当半圆的半径$\sqrt{a}$＞1即a＞1时或者半圆与直线相切时恰有一个公共交点，
当半圆与直线相切时，圆心（0，0）到直线的距离即为半圆的半径，此时$\sqrt{a}=\frac{|0×1+0×1-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\frac{1}{2}$
所以当直线x+y=1与曲线y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）恰有一个公共点时，a的取值范围是a=$\frac{1}{2}$或a＞1．
故答案为：a=$\frac{1}{2}$或a＞1．

点评 对于直线和圆的交点个数问题，采用数形结合的思想来考虑较为直观、简单．