Question

6．设函数f（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，当x≠0时，但有xf′（x）＞0，记a=f（log_0.53），b=f（log₂5），c=f（log₃2），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． c＜a＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 当x≠0时，有xf′（x）＞0，可得x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增．又函数f（x）为R上的偶函数，可得a=f（log_0.53）=f（log₂3），利用对数函数的单调性及其f（x）的单调性即可得出．

解答 解：∵当x≠0时，有xf′（x）＞0，
∴x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
又函数f（x）为R上的偶函数，∴a=f（log_0.53）=f（log₂3），
∵0＜log₃2＜log₂3＜log₂5，
∴f（log₃2）＜f（log₂3）＜f（log₂5），
∴c＜a＜b．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．