Question

11．已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上不单调，试判断a²与3b的大小关系；
（2）若f（x）在x=1时取得极值为c-$\frac{3}{2}$，且x∈[-1，2]时，c²＞f（x）恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，结合f（x）在（-∞，+∞）是不单调函数，可得f′（x）=0有两个不同的实数根，由△=4a²-12b＞0，可得a²＞3b；
（2）由题意可得关于a，b的方程组，求出a，b的值，列表可得当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值位2+c，把x∈[-1，2]时，c²＞f（x）恒成立转化为c²＞2+c求解．

解答 解：（1）由f（x）=x³-ax²+bx+c，得f′（x）=3x²-2ax+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）是不单调函数，
∴f′（x）=0有两个不同的实数根，即3x²-2ax+b=0有两个不同的实数根．
∴△=4a²-12b＞0，可得a²＞3b；
（2）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3-2a+b=0}\\{f（1）=1-a+b+c=c-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）．
列表分析最值：

x	-1	（-1，$-\frac{2}{3}$）	$-\frac{2}{3}$	（$-\frac{2}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f（x）		+	0	-	0	+
	$\frac{1}{2}$+c	递增	极大值$\frac{22}{27}$+c	递减	极小值$-\frac{3}{2}$+c	递增	2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵对x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，
∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的极值，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．