Question

6．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1．
（1）求函数f（x）的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数f（x）图象上每一点的横坐标都缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性、对称中心，得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z
∴f（x）单调递减区间为[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
（2）由f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），将函数f（x）图象上每一点的横坐标都缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到y=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
然后把所得图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到g（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（4x-$\frac{π}{2}$）=-2cos4x．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、对称中心，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．