Question

14．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=x•[f′（x）+1]，且f（1）=1，则f（x）的最大值为1．

Answer 1

分析 利用已知条件求出f′（x）=-lnx，可得f（x）=x（1-lnx），然后利用导数求出f（x）的最大值．

解答 解：∵f（x）=x[f′（x）+1]，且f（1）=1，
∴f′（1）=0，①
又f′（x）=x[f″（x）]+f′（x）+1，
∴f″（x）=$-\frac{1}{x}$，∴f′（x）=-lnx+c，②
联立①②可求得c=0，
∴f′（x）=-lnx，则f（x）=x（1-lnx），
f′（x）=-lnx（x＞0），令f′（x）=0，得x=1．
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞） 时，f′（x）＜0，
∴当x=1时，f（x）_max=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了函数的导数运算、导数在最大值、最小值问题中的应用，解答关键是由已知求出f′（x），属中档题．