Question

4．已知函数f（x）=（1+x）ⁿ，请利用这个函数，证明如下结论：
（1）C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ
（2）C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）利用二项式定理展开，再利用x=1即可得出．
（2）对f（x）求导，再令x=1，即可得出．

解答 证明：（1）∵$f（x）={（{1+x}）^n}=C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^n{x^n}$…（3分）
∴x=1时，可得$f（1）=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n={2^n}$…（6分）
（2）∵$f（x）={（{1+x}）^n}=C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^n{x^n}$，
∴${f^'}（x）=n{（{1+x}）^{n-1}}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3{x^2}+4C_n^4{x^4}+…+nC_n^n{x^{n-1}}$…（9分）
∴x=1时，可得${f^'}（1）=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+…+nC_n^n=n•{2^{n-1}}$…（12分）

点评 本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．