Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，点E是C1D1的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（0，1，1），
B（1，2，3），C（0，2，0），
∴=（0，1，1），=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，0），
∵=0，=0，
∴DE⊥BE，DE⊥BC，
∵BE平面BCE，BC平面BCE，BE∩BC=B，
∴DE⊥平面BCE．
（2）解：设平面AEB的法向量=（x，y，z），
则，
取x=1，得=（1，0，1），
∵DE⊥平面BCE，∴=（0，1，1）是平面BCE的法向量，
∵cos＜,＞==，
∴二面角A﹣EB﹣C的大小为120°．

【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面BCE．
（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，再利用向量法求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．