Question

11．已知圆M：（x-2a）²+y²=4a²与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点D为圆M与x轴正半轴的交点，点E为双曲线C的左顶点，若四边形EADB为菱形，则双曲线C的离心率为2．

Answer 1

分析 求出E，D的坐标，由菱形的对角线互相垂直平分，运用中点坐标公式可得A，B的横坐标，代入圆的方程可得A，B的纵坐标，代入双曲线的方程可得a，b的关系，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得E（-a，0），D（4a，0），
又四边形EADB为菱形，可得AB垂直平分ED，
即有A，B的横坐标为$\frac{3}{2}$a，
代入圆M的方程可得A（$\frac{3}{2}$a，$\frac{\sqrt{15}}{2}$a），B（（$\frac{3}{2}$a，-$\frac{\sqrt{15}}{2}$a），
又A，B在双曲线上，可得$\frac{9}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有b²=3a²，
则c²=a²+b²=4a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆和双曲线的对称性，以及菱形的性质，以及中点坐标公式，结合双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于中档题．