Question

12．△ABC中，c是a与b的等差中项，sinA，sinB，sinC依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和，则cosC的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{13}{16}$

Answer 1

分析 运用等差数列和等比数列的性质，结合正弦定理，可得a，b，c的关系，再由余弦定理计算即可得到所求值．

解答 解：c是a与b的等差中项，
可得a+b=2c，①
sinA，sinB，sinC依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和，
由等比数列的和的性质，可得
sinA，sinB-sinA，sinC-sinB成等比数列，
可得sinA（sinC-sinB）=（sinB-sinA）²，
由正弦定理可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
代入，化简可得a（c-b）=（b-a）²，②
由①②可得
a（a+b-2b）=2（b-a）²，
化简可得a=b或a=2b，
若a=b，则a=b=c，由等比数列各项均不为0，可得a≠b；
则a=2b，c=$\frac{3}{2}$b，
即有cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{b}^{2}+{b}^{2}-\frac{9}{4}{b}^{2}}{2•2b•b}$=$\frac{11}{16}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列和等比数列中项的性质，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．