Question

3．已知平面内三个向量：$\overrightarrow a=（3，2），\overrightarrow b=（-1，2），\overrightarrow c=（4，1）$．
（Ⅰ）若$（\overrightarrow a+k\overrightarrow c）∥（2\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，求实数k的值；
（Ⅱ）设$\overrightarrow d=（x，y）$，且满足$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow d-\overrightarrow c）$，$|\overrightarrow d-\overrightarrow c|=\sqrt{5}$，求$\overrightarrow d$．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow a+k\overrightarrow c=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k）$，$2\overrightarrow b-\overrightarrow a=（-5，2）$，
又$（\overrightarrow a+k\overrightarrow c）∥（2\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，
∴-5（2+k）=2（3+4k），解得k=-$\frac{16}{13}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2，4），$\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），
又$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow d-\overrightarrow c）$，$|\overrightarrow d-\overrightarrow c|=\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x-4）+4（y-1）=0}\\{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
故$\overrightarrow{d}$=（6，0）或（2，2）．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．