Question

11．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（-2）=0，当x＞0时，$\frac{{x{f^'}（x）-f（x）}}{x^2}＞0$，则xf（x）＞0的解集为{x|x＜-2或x＞2}．

Answer 1

分析 利用题意首先确定函数的单调性，然后结合函数的奇偶性和函数在特殊的处的函数值整理计算即可求得最终结果．

解答 解：由题意可得：$[\frac{f（x）}{x}]'=\frac{xf'（x）-f（x）×x'}{{x}^{2}}＞0$，
则函数$\frac{f（x）}{x}$ 在（0，+∞）上单调递增，
且：$\frac{f（2）}{2}=\frac{-f（-2）}{2}=0$，$\frac{f（-2）}{-2}=0$，
而不等式xf（x）＞0等价于 $\frac{f（x）}{x}＞0$，
函数$\frac{f（x）}{x}$ 是偶函数，则函数$\frac{f（x）}{x}$ 在（-∞，0）上单调递减，
据此可得不等式的解集为：{x|x＜-2或x＞2}．
故答案为：{x|x＜-2或x＞2}．．

点评 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，导函数研究函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．