Question

20．在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），M是曲线C₁上的动点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$
（1）求点P的轨迹方程C₂；
（2）以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线$θ=\frac{π}{6}$与曲线C₁、C₂交于不同于极点的A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）首先设P（x，y），由题意知M与P的关系，再由M是曲线C₁上的动点，求出点P的参数方程，即：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$   （α为参数），从而得到C₂的轨迹方程为：（x-4）²+y²=16．
（2）为了求出线段AB的长度，首先把把曲线C₁的方程转化为极坐标方程为：ρ=4cosθ，再把曲线C₂方程转化为的极坐标方程为：ρ=8cosθ，最后利用射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁的交点A的极径为${ρ}_{1}=4cos\frac{π}{6}$，射线$θ=\frac{π}{6}$与C₂的交点B的极径为．${ρ}_{2}=8cos\frac{π}{6}$，最终求出线段AB的长度．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意知M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），M是曲线C₁上的动点，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=2+2cosα}\\{\frac{y}{2}=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$   （α为参数），
从而C₂的轨迹方程为：（x-4）²+y²=16．
（2）依题意把曲线C₁的方程转化为极坐标方程为：ρ=4cosθ，
曲线C₂方程转化为的极坐标方程为：ρ=8cosθ，
射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁的交点A的极径为${ρ}_{1}=4cos\frac{π}{6}$，
射线$θ=\frac{π}{6}$与C₂的交点B的极径为．${ρ}_{2}=8cos\frac{π}{6}$，
所以：|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点，参数方程及极坐标方程与普通方程的互化，利用极径求线段的长度，属于基础题型．