Question

11．若${log_{（a+1）}}m={log_{\frac{2}{a}}}$n＞0（0＜a＜1），则关于x的不等式$\frac{x-m}{x-n}$≥0的解集为（-∞，m]∪（n，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得m＞1，n＞1，由1＜a+1＜$\frac{2}{a}$，即有m＜n．再由分式不等式转化为二次不等式，由二次不等式的解法即可解得．

解答 解：若${log_{（a+1）}}m={log_{\frac{2}{a}}}$n＞0（0＜a＜1），
则m＞1，n＞1，
又a+1-$\frac{2}{a}$=$\frac{{a}^{2}+a-2}{a}$=$\frac{（a-1）（a+2）}{a}$＜0，
即有1＜a+1＜$\frac{2}{a}$，
即有m＜n．
不等式$\frac{x-m}{x-n}$≥0即为（x-m）（x-n）≥0，且x-n≠0，
解得x＞n或x≤m．
则解集为（-∞，m]∪（n，+∞）．
故答案为：（-∞，m]∪（n，+∞）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，同时考查对数函数的性质，属于基础题和易错题．