Question

【题目】边长为的菱形,其顶角为.用 分别平行的三组等距平行线,将菱形划分成个边长为1的正三角形.试求以图中的线段为边的梯形个数.

Answer 1

【答案】

【解析】

由于图中任两条线段所在的直线,或者平 行或者相交成60°的锐角,

因此,由图中线段组成的所有梯形都是底角为60°的等腰梯形.对于这种梯形,

若两腰延长线的交点在菱形内部或周界上,则称为“内置梯形”;若交点在菱形外,则称为“外延梯形”.

(1)先求内置梯形的个数.

将边长为的正三角形称为“级三角形”,相应地,下底(较长底边)的长为的梯形称为“级梯形”,

再将腰长为的级梯形称为“梯 形”.

图中所有正三角形,要么顶点朝上,要么顶点朝下,分别称作“顺置三角形”与“倒置三角形”.

易见,每个梯形,可看作是由一个级三角形切去一个级三角形而得到的.

每个级三角形所切出的级梯形有种情况(其中,梯形各3个).

现计算图中级三角形的个数:取为原点并以为轴、轴建立斜角坐标系,每个级顺置三角形,下底左端点的横坐标可取共个值,纵坐标也可取共个值.因此,级顺置三角形有个.据对称性, 级倒置三角形也有个.从而, 级三角形有个.于是, 级内置梯形有个.

求和得

(2)再求外延梯形的个数.

先考虑外延交点在线段AB外侧的情况.如图 10,任取,使,设诸点的斜角坐标为:,,,.延长,交直线于点,位于延长线上的交点共有个.对于确定的,为一个倒置正三角形,当点在上移动时,点在直线上移动,由于 ,

这两条线段间的平行线共有条(包括这两条线在内),任两条这种平行线都在截出一个梯形.因此,这种梯形共有个,它们都以为外延交点.而延长线位于外侧的交点共有个,故当固定时,共得到个外延梯形.现让取遍,因此,位于外侧的全部外延点共形成个外延梯形.

据对称性,在菱形另三条边外侧的外延点,也分别形成同样数目的外延梯形,从而,全部外延梯形的个数为

故