Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1，等差数列{b_n}中，b₂+b₅=12，b₃+b₈=20，设数列{b_n}的前n项和为T_n，比较a_n与T_n的大小．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：2S_n=3a_n-1，当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-1；两式相减可得a_n=3a_n-1．利用等比数列的通项公式可得a_n=3^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，由于b₂+b₅=12，b₃+b₈=20，b_n=2n-1．可得T_n=n²．对n分类讨论即可比较出其大小．

解答： 解：∵2S_n=3a_n-1，当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-1；
两式相减可得：2a_n=3a_n-3a_n-1，化为a_n=3a_n-1．
当n=1时，2a₁=3a₁-1，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等比数列，
a_n=3^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₂+b₅=12，b₃+b₈=20，
∴b₁+d+b₁+4d=12，b₁+2d+b₁+7d=20，
解得b₁=1，d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴T_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
当n=1时，a₁=T₁=1；
当n=2时，a₂=3＜T₂=4；
当n=3时，a₃=9=T₃；
当n≥4时，（1+2）ⁿ=1+

∁

1 n

•2+

∁

2 n

•22+

∁

3 n

•23+…
=1+2n+2n（n-1）+

4n(n-1)(n-2)

3

+…
＞3n²，
∴a_n＞T_n．
综上可得：当n=1或3时，a_n=T_n；
当n=2时，a₂＜T₂；
当n≥4时，a_n＞T_n．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二项式定理的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．