Question

13．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-5}&{x＜1}\\{x+\frac{a}{x}}&{x≥1}\end{array}}\right.$为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[-4，1]．

Answer 1

分析 根据分段函数在R上的单调函数，y₁=2x-5是单调递增，${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$也是单调递增，根据勾勾函数的性质求解．

解答 解：函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-5}&{x＜1}\\{x+\frac{a}{x}}&{x≥1}\end{array}}\right.$为R上的单调函数，
当x＜1，y₁=2x-5是单调递增，其最大值小于-3，${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$也是单调递增，
根据勾勾函数的性质可知：当a＞0时，y₂在$（\sqrt{a}，+∞）$是单调递增，
∵${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$的定义域为{x|x≥1}，
∴$\sqrt{a}≤1$，
解得：0＜a≤1．
那么：当x=1时，函数${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$取得小值为1+a．
由题意：$（2x-5）_{max}≤（x+\frac{a}{x}）_{min}$，即1+a≥-3，
解得：a≥-4．
综上可得：1≥a≥-4．
故得实数a的取值范围是[-4，-1]．

点评 本题考查了分段的单调性的运用能力来求解参数问题．要灵活运用勾勾函数的性质．属于中档题．