Question

16．已知数列{a_n}中a₁=$\frac{1}{2}$，函数f（x）=$\frac{2x}{1+x}$．
（1）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），试求出a₂，a₃，a₄，由此归纳出通项a_n，并加以证明；
（2）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}的前项和为T_n，且b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}+1}$，求证：T_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$两边同时取倒数、变形可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过a_n+1≤$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N^*）变形可知$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$≥$\frac{1}{2}$，进而累乘得：$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}-1}{\frac{1}{{a}_{1}}-1}$≥$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而a_n≤$\frac{{2}^{n-1}}{{1+2}^{n-1}}$，通过裂项、放缩可知b_n≤$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{1+2}^{n}}$，并项相加即得结论．

解答 证明：（1）依题意，a₂=$\frac{2{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{2•\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
a₃=$\frac{2{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{2•\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{4}{5}$，
a₄=$\frac{2{a}_{3}}{1+{a}_{3}}$=$\frac{2•\frac{4}{5}}{1+\frac{4}{5}}$=$\frac{8}{9}$，
由此归纳得出：a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{1+2}^{n-1}}$；
证明如下：
∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{1+2}^{n-1}}$；
（2）∵a_n+1≤f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1≥$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$≥$\frac{1}{2}$，
累乘得：$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}-1}{\frac{1}{{a}_{1}}-1}$≥$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1≥$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即a_n≤$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，
∴a_n≤$\frac{{2}^{n-1}}{{1+2}^{n-1}}$，
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}+1}$≤$\frac{\frac{{2}^{n-1}}{1+{2}^{n-1}}}{1+{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n}）（1+{2}^{n-1}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{1+2}^{n}}$，
∴T_n≤$\frac{1}{1+{2}^{0}}$-$\frac{1}{1+{2}^{1}}$+$\frac{1}{1+{2}^{1}}$-$\frac{1}{{1+2}^{2}}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{1+2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{1+2}^{n}}$
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．