Question

若实数a、b、c满足（b+a²-3lna）²+（c-d+4）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题设条b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x²；c-d+4=0，设c=x，d=y，得到y=x+4，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+4之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答： 解：∵实数a、b、c、d满足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+4）²=0，
∴b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=3lnx-x²
c-d+4=0，设c=x，d=y，则有：y=x+4，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线
y=3lnx-x²与直线y=x+4之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x²求导：
y'（x）=

3

x

-2x，
与y=x+4平行的切线斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切点为（1，-1）
切点到直线y=x+4的距离：
L=

|1+1+4|

2

=

6

2

，
即L²=18，（a-c）²+（b-d）²的最小值就是18．
故答案为：18．

点评：本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．