Question

已知函数f（x）=sinx•cos（x-

π

6

）+cos²x-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=

1

2

，a=

3

，S_△ABC=

3

2

，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值．

解答： 解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）+cos²x-

1

2

=

3

2

sinxcosx+

1

2

cos²x
=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

由2x+

π

6

∈（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ），可得函数f（x）的单调递增区间（-

2π

3

+kπ，

π

6

+kπ）（k∈Z）；
（Ⅱ）由题意f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

1

4

=

1

2

，化简得 sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

；
在△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=3，
∵S_△ABC=

3

2

=

1

2

bc•

3

2

，∴bc=2
∴b+c=3．

点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识．