Question

用总长为18m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的相邻两边长之比为2：1，那么容器容积最大时，高为

 

m．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：导数的综合应用

分析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高h=

18-12x

4

=4.5-3x，（m）0＜x＜

3

2

，从而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x），利用导数性质求出x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．由此能求出结果．

解答： 解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，
高h=

18-12x

4

=4.5-3x，（m）0＜x＜

3

2

，…2分
故长方体的体积V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³，0＜x＜

3

2

，
从而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x），
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1
当0＜x＜1时，V′（x）＞0，V（x）是增函数．
当1＜x＜

3

2

时，V′（x）＜0，V（x）是减函数，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．
从而最大体积为V（1）=3m³，
此时长方体的长为2m、宽为1m，高为1.5m．
故答案为：1.5．

点评：本题考查长方体容积最大时高的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．