Question

设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比λ=

AC

CB

，则得分点C的坐标公式

xC= xA+λxB 1+λ yC= yA+λyB 1+λ

．如图所示，对于函数f（x）=x²（x＞0）上任意两点A（a，a²），B（b，b²），线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²成立．对于函数y=lnx的图象上任意两点A（a，lna），B（b，lnb），类比上述不等式可以得到的不等式是

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：探究型,推理和证明

分析：根据函数f（x）=x²（x＞0）的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²，再根据对数函数的图象的特征，即可类比得到相应的不等式．

解答： 解：∵函数f（x）=x²（x＞0）上任意两点A（a，a²）、B（b，b²），线段AB在弧线段AB的上方，
设C分AB的比λ=

AC

CB

，则得分点C的坐标公式

xC= xA+λxB 1+λ yC= yA+λyB 1+λ

，
由图象中点C在点C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²成立．
据此我们从图象可以看出：
函数f（x）=x²（x＞0）的图象是向下凹的，
类比对数函数可知，对数函数的图象是向上凸的，
分析函数y=lnx（x＞0）的图象，类比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．
故答案为：

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

点评：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，本题比较简单．