Question

已知数列{a_n}满足，a₁=1，且

1

an+1

-

1

an

=2
（Ⅰ）求a_n的通项公式；
（Ⅱ）设{a_na_n+1}的前n项和为T_n，若T_n=

49

99

，试求n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁=1，

1

an+1

-

1

an

=2，知{

1

an

}是以首项为1，公差等于2的等差数列，由此能求出an=

1

2n-1

．
（Ⅱ）a nan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出n=49．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=1，且

1

an+1

-

1

an

=2，
知{

1

an

}是以首项为1，公差等于2的等差数列，
所以

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
即an=

1

2n-1

…（5分）
（Ⅱ）a nan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

又Tn=

49

99

，即

n

2n+1

=

49

99

，解得n=49．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及应用，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．