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如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点C、F,连接CF并延长交AB于点E.
 
(Ⅰ)求证:E是AB的中点。
(Ⅱ)求线段BF的长.

(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)a

解析试题分析:(Ⅰ) 由以D为圆心DA为半径作圆,而ABCD为正方形,所以DA⊥AE,所以EA为圆D的切线,依据切割线定理,得EA2=EF•EC,又圆O以BC为直径,所以OB⊥BE,所以EB是圆O的切线,同样依据切割线定理得EB2=EF•EC,故AE=EB,E是AB中点.
(Ⅱ)根据两个角对应相等,得到两个三角形相似,得到对应边成比例,根据所给的长度,代入比例式,得到要求的线段。
试题解析:(Ⅰ)由以D为圆心DA为半径作圆,而ABCD为正方形,∴EA为圆D的切线,
依据切割线定理,得EA2=EF•EC (2分)
另外圆O以BC为直径,∴EB是圆O的切线,
同样依据切割线定理得EB2=EF•EC (4分)
故AE=EB,故E是AB中点 (5分)
 
(Ⅱ)连接BF,∵∠BEF=∠CEB,∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC,得
∵ABCD是边长为a的正方形,
所以BF=a              (10分)
考点:切割线定理,三角形相似的判定与性质,弦切角定理

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(1)
(2).

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