Question

已知函数f（x）=4sin

ω x

2

cos （

ω x

2

+

π

3

）+

3

（x∈R，ω＞0）的最小正周期为4π．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ） 若α∈（0，

π

2

），且f（α-

π

2

）=

6

5

，求f（α）的值．

Answer 1

考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简可得f（x）═2sin（ωx+

π

3

），利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）f（α-

π

2

）=

6

5

⇒2sin（

α

2

+

π

12

）=

6

5

，而α∈（0，

π

2

），可推出cos（

α

2

+

π

12

）=

4

5

，利用两角和的正弦f（α）=2sin（

α

2

+

π

3

）=2sin[（

α

2

+

π

12

）+

π

4

]即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ） 因为f（x）=4sin

ω x

2

（

1

2

cos

ω x

2

-

3

2

sin

ω x

2

）+

3

=sinωx-

3

（1-cosωx）+

3

=2sin（ωx+

π

3

）．
又f（x）的最小正周期为4π，令

2π

ω

=4π，得ω=

1

2

．
所以f（x）=2sin（

1

2

x+

π

3

），其最大值为2．  
（Ⅱ） 由于f（α-

π

2

）=

6

5

，即2sin（

α

2

+

π

12

）=

6

5

，而α∈（0，

π

2

），可知
cos（

α

2

+

π

12

）=

4

5

，
所以f（α）=2sin（

α

2

+

π

3

）
=2sin（

α

2

+

π

12

）cos

π

4

+2cos（

α

2

+

π

12

）sin

π

4

=

7 2

5

．

点评：本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，考查转化思想．