Question

数列{a_n}满足：a_n+1=2（a_n-1）²+1且a₁=3，a_n＞1
（1）设b_n=log₂（a_n-1），求证：{b_n+1}为等比数列；
（2）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a_n+1=2（a_n-1）²+1且a₁=3，a_n＞1，变形为an+1-1=2(an-1)2，两边取对数可得log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，即b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2（b_n+1），即可证明．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n+1=2（a_n-1）²+1且a₁=3，a_n＞1，
∴an+1-1=2(an-1)2，
∴log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，
∴b_n+1=2b_n+1，
化为b_n+1+1=2（b_n+1），
∴数列{b_n+1}为等比数列，首项为b₁+1=log₂（a₁-1）+1=2，公比为2；
（2）解：由（1）可得：bn=2n，
∴c_n=nb_n=n•2ⁿ．
∴S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等比数列的定义及其前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．