Question

【题目】已知抛物线的方程为， 为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线， 为切点.且.

（Ⅰ）求证：直线过定点；

（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为，设， ，由消去得，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为， .由这两切线垂直得，从而可得结论；（Ⅱ）设，则， ， ， ， ，利用导数求出的最小值即可.

试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，

以为切点的切线方程分别为， .

由消去得.

则， .

这两条切线的斜率分别为， .

由这两切线垂直得，得.

所以直线恒过定点.

（Ⅱ）设，则， ，

当时，则，可得，

当时，则， ， ，

同样可得.

所以.

由.

所以 .

令， .

.

所以在上为减函数，在上为增函数.

所以.

（或 当时取等号.）