Question

已知函数f(x)＝x³＋x－16．
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

（1）y＝13x－32
（2）直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)
（3）切线坐标：（1，-14）（-1，-18）    切线方程：y＝4x－18或y＝4x－14

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x³＋x－16)′＝3x²＋1．
∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13．
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32．
(2)设切点为(x₀，y₀)，
则直线l的斜率为f′(x₀)＝3x₀²＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x₀²＋1)(x－x₀)＋x₀³＋x₀－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x₀²＋1)(－x₀)＋x₀³＋x₀－16，
整理得，x₀³＝－8，∴x₀＝－2，
∴y₀＝(－2)³＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)²＋1＝13．
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4．
设切点的坐标为(x₀，y₀)，
则f′(x₀)＝3x₀²＋1＝4，
∴x₀＝±1，
∴或
∴切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．
即y＝4x－18或y＝4x－14．