Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=a（a为常数），其前n项和S_n满足S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{3}-2）}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n≥S₁₀对一切n∈N^*都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在已知数列递推式中取n=1，得a₃-a₁=2，以n-1替换n，与原递推式联立可得2a_n=a_n+1+a_n-1，进一步说明数列{a_n}是首项为a，公差为1的等差数列．则通项公式可求；
（2）求出等差数列的前n项和，配方后结合S_n≥S₁₀对一切n∈N^*都成立，得到关于a的不等式，求解不等式得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{3}-2）}{2}$，①令n=1，得2a₁=a₁+a₃-2，则a₃-a₁=2，
又${S}_{n-1}=\frac{（n-1）（{a}_{n-1}+{a}_{3}-2）}{2}$，②
①-②得：${a}_{n}=\frac{n（{a}_{n}+{a}_{3}-2）}{2}-\frac{（n-1）（{a}_{n-1}+{a}_{3}-2）}{2}$，
得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-a₃+2，③
则（n-1）a_n+1=na_n-a₃+2，④
④-③得：（n-1）a_n+1-（n-2）a_n=na_n-（n-1）a_n-1，
∵n≥2，∴有2a_n=a_n+1+a_n-1，⑤
由a₃-a₁=2和⑤知：数列{a_n}是首项为a，公差为1的等差数列．
∴a_n=a+（n-1）•1=n+a-1；
（2）${S}_{n}=\frac{n（a+n+a-1）}{2}=\frac{1}{2}[（n-\frac{1-2a}{2}）^{2}-\frac{（1-2a）^{2}}{4}]$．
∵S_n≥S₁₀对一切n∈N^*都成立，∴$9.5≤\frac{1-2a}{2}≤10.5$，
解得a∈[-10，-9]．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查等差数列的前n项和，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．