Question

4．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，△A₁BC是正三角形，B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅰ）求证：面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，从而A₁A⊥平面ABC，由此能证明面A₁AC⊥面ABC．
（Ⅱ）该几何体的体积：V=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}BA}+{V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，
△A₁BC是正三角形，B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，
∴A₁C=A₁B=$\sqrt{2}$，₁A=AC=1，
满足${A}_{1}{A}^{2}+A{C}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$，
∴A₁A⊥AC，
又A₁A⊥AB，且AB∩AC=A，∴A₁A⊥平面ABC，
∵A₁A?平面A₁AC，∴面A₁AC⊥面ABC．
解：（Ⅱ）依题意得该几何体的体积：
V=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}BA}+{V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
=$\frac{1}{3}×{S}_{{A}_{1}{B}_{1}BA}×CA$+$\frac{1}{3}×{S}_{{△A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}×{A}_{1}A$
=$\frac{1}{3}×1×1+\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}）×1$
=$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．