Question

16．已知函数f（x）=|lnx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值等于（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $2+\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据对数函数的性质，求出ab=1，然后利用基本不等式求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值．

解答 解：因为f（x）=|lnx|，f（a）=f（b），所以|lna|=|lnb|，
即lna=±lnb，
又a＞b＞0，所以lna=-lnb，ab=1，
所以$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}=\frac{{{{（a-b）}^2}+2ab}}{a-b}=（a-b）+\frac{2}{a-b}≥2\sqrt{2}$，当且仅当ab=1且$a-b=\frac{2}{a-b}$时取等号，
所以$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用对数函数的图象和性质求出ab=1是解决本题的关键，注意基本不等式成立的条件．