Question

已知函数f（x）=ax²-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性，进而可求极值       
（2）由f（x）=ax²-lnx，可得f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，然后结合讨论a的范围，以确定f′（x）的正负，进而可确定函数f（x）的单调性，求出最小值即可求解a．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-lnx，x∈（0，e]，f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，x∈（0，e]，…（1分）
令f′（x）＞0，得

2

2

＜x＜e，f′（x）＜0，得0＜x＜

2

2

，
∴f（x）的单调增区间是[

2

2

，e]，单调减区间为（0，

2

2

]． …（4分）
f（x）的极小值为f（

2

2

）=

1

2

-ln

2

2

=

1

2

+

1

2

ln2．无极大值．…（5分）
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax²-lnx，（x∈[0，e]）有最小值3，
f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

…（6分）
①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，
∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3，a=

4

e2

（舍去）…（8分）
②当a＞0时，令f′（x）=0得：x=

1 2a

，
（ⅰ）当0＜

1 2a

＜e即a＞

1

2e2

时
f（x）在（0，

1 2a

]上单调递减，在（

1 2a

，e]上单调递增，
∴f（x）min=f（

1 2a

）=

1

2

-ln

1 2a

=3．得a=

e5

2

．  …（10分）
（ⅱ）当

1 2a

≥e即0＜a≤

1

2e2

时，
x∈（0，e]时，f’（x）＜0，所以，f（x）在（0，e]上单调递减，
∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3，a=

4

e2

 （舍去），此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=

e5

2

，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．…（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．