Question

已知曲线C：

y2

λ

+x²=1．
（Ⅰ）由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足

FP

=3

EP

，求P的轨迹方程，点P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
（Ⅱ）如果直线l的斜率为

2

，且过点M（0，-2），直线l交曲线C于A、B两点，求

MA

•

MB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设E（x₀，y₀），P（x，y），则F（x₀，0）．由

FP

=3

EP

．得

x0=x y0= 2 3 y.

由此能求出P的轨迹方程，当λ=

4

9

时，P点的轨迹是圆．
（II）直线l的方程为y=

2

x-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组

y= 2 x-2 y2 λ +x2=1

，消去y，得(λ+2)x2-4

2

x+4-λ=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式能求出

MA

•

MB

的取值范围．

解答： 解：（I）设E（x₀，y₀），P（x，y），则F（x₀，0）．
∵

FP

=3

EP

．∴（x-x₀，y）=3（x-x₀，y-y₀）
∴

x0=x y0= 2 3 y.

…（3分）
代入

y 2 0

λ

+

x

2 0

=1中，得

4y2

9λ

+x2=1为P点的轨迹方程．
当λ=

4

9

时，P点的轨迹是圆．（6分）
（II）由题设知直线l的方程为y=

2

x-2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组

y= 2 x-2 y2 λ +x2=1

，消去y，得(λ+2)x2-4

2

x+4-λ=0．（8分）
∵方程组有两个不等解，∴λ+2≠0且△＞0，
∴λ＞2或λ＜0且λ≠-2，x1•x2=

4-λ

λ+2

，
而

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)•(y2+2)
=x1x2+

2

x1•

2

x2=3x1x2=

3(4-λ)

λ+2

=-3+

18

λ+2

．（10分）
当λ＞2时，-3＜

MA

•

MB

＜

3

2

，
当-2＜λ＜0时，

MA

•

MB

＞-3+9=6，
当λ＜-2时，

MA

•

MB

＜-3，
综上，

MA

•

MB

的取值范围为（-∞-3）∪（-3，

3

2

）∪（6，+∞）．（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．