Question

函数y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：设sinx-cosx=t，得sinxcosx的函数关系式，依题意结合x的范围，求出t的范围，利用二次函数闭区间上的最值求解即可．

解答： 解：设sinx-cosx=t，则（sinx-cosx）²=t²⇒sinxcosx=

1-t2

2

，
∵x∈[0，π]，
∴（x-

π

4

）∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）∈[-1，

2

]，
∴y=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，
∴当t=1时，y_max=1；
当t=-1时，y_min=-1．
∴函数y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的值域是[-1，1]．
函数的最大值为1，最小值为-1．
故答案为：1；-1．

点评：本题考查三角函数的最值，换元是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．