Question

如图，矩形的长AD=2

3

，宽AB=1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限．问：当∠OAD=

 

时，OB的长度最大．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的图像与性质

分析：设∠OAD=θ.θ∈(0，

π

2

)．利用两点间的距离公式、两角和差的正弦公式及其正弦函数单调性有界性即可得出．

解答： 解：设∠OAD=θ.θ∈(0，

π

2

)．
则A(2

3

cosθ，0)，
∴B(2

3

cosθ+sinθ，cosθ)．
∴|OB|²=(2

3

cosθ+sinθ)2+cos2θ
=1+4

3

sinθcosθ+12cos2θ
=4

3

sin(2θ+

π

3

)+7
当且仅当2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

时，sin(2θ+

π

3

)取得最大值，即|OB取得最大值．
故答案为：

π

12

．

点评：本题考查了两点间的距离公式、两角和差的正弦公式及其正弦函数单调性有界性，属于中档题．